15 Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от обоих катетов, делит ее на отрезки длиной 6 и 8. Длина большего катета равна

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠ C = 90^\circ \). Пусть AC = b, BC = a, AB = c (гипотенуза).

Пусть точка K лежит на гипотенузе AB. K равноудалена от катетов AC и BC. Это означает, что K лежит на биссектрисе прямого угла.

Опустим перпендикуляры из K на катеты: KP \(⊥\) BC и KQ \(⊥\) AC. По условию, KP = KQ.

Четырехугольник KPCQ является квадратом, так как \( ∠ C = 90^\circ \), \( ∠ CPK = 90^\circ \), \( ∠ CQP = 90^\circ \) и KP = KQ. Следовательно, CP = CQ = KP = KQ.

Пусть KP = KQ = x. Тогда K делит гипотенузу AB на отрезки AK = 8 и KB = 6 (или наоборот, это не повлияет на длину катетов).

В прямоугольном треугольнике KPB, KB = 6, KP = x. По теореме Пифагора, PB = \( √{KB^2 - KP^2} = √{6^2 - x^2} \).

В прямоугольном треугольнике KQA, AK = 8, KQ = x. По теореме Пифагора, QA = \( √{AK^2 - KQ^2} = √{8^2 - x^2} \).

Длины катетов:

\( a = BC = BP + PC = √{36 - x^2} + x \)

\( b = AC = AQ + QC = √{64 - x^2} + x \)

Гипотенуза \( c = AB = AK + KB = 8 + 6 = 14 \).

По теореме Пифагора для треугольника ABC: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\[ (√{36 - x^2} + x)^2 + (√{64 - x^2} + x)^2 = 14^2 \]

\[ (36 - x^2) + 2x√{36 - x^2} + x^2 + (64 - x^2) + 2x√{64 - x^2} + x^2 = 196 \]

\[ 100 + 2x(√{36 - x^2} + √{64 - x^2}) = 196 \]

\[ 2x(√{36 - x^2} + √{64 - x^2}) = 96 \]

\[ x(√{36 - x^2} + √{64 - x^2}) = 48 \]

Также, точка K равноудалена от катетов, значит, она лежит на биссектрисе угла C. Биссектриса делит гипотенузу в отношении, равном отношению катетов: \( \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} \) или \( \frac{8}{6} = \frac{b}{a} \) \( \implies \) \( b = \frac{4}{3}a \).

Подставим в \( a^2 + b^2 = c^2 \):

\[ a^2 + (\frac{4}{3}a)^2 = 14^2 \]

\[ a^2 + \frac{16}{9}a^2 = 196 \]

\[ \frac{9a^2 + 16a^2}{9} = 196 \]

\[ \frac{25a^2}{9} = 196 \]

\[ a^2 = \frac{196 · 9}{25} \]

\[ a = \sqrt{\frac{196 · 9}{25}} = \frac{14 · 3}{5} = \frac{42}{5} = 8.4 \]

Тогда \( b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3} · 8.4 = 4 · 2.8 = 11.2 \).

Больший катет равен 11.2.

Ответ: 11,2