13. На рисунке изображён куб. Докажите, что прямые: а) AA₁ и B₁C₁; б) A₁D и DC; в) AC и BD₁ являются скрещивающимися.

а) AA₁ и B₁C₁. Предположим, что эти прямые лежат в одной плоскости β. Плоскость β содержит точки A₁ и B₁, поэтому её пересечение с плоскостью верхней грани куба — прямая A₁B₁. Но β также содержит прямую B₁C₁. Значит, A₁B₁ и B₁C₁ должны совпадать, что неверно. Следовательно, прямые скрещиваются.

б) В условии есть несоответствие: прямые A₁D и DC пересекаются в точке D, поэтому скрещивающимися не являются. Возможно, в обозначении одной из прямых допущена опечатка; для доказательства по этому подпункту нужно уточнить условие.

в) AC и BD₁. Прямая AC лежит в плоскости нижней грани ABCD. Прямая BD₁ пересекает эту плоскость только в точке B, а B не принадлежит AC, поэтому прямые не пересекаются. Они не параллельны: AC направлена как диагональ нижней грани, а BD₁ — как пространственная диагональ куба. Значит, прямые скрещиваются.