15. Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой a. Докажите, что b и c — скрещивающиеся прямые.

Пусть прямые a и c пересекаются в точке M. Так как a ∥ b, прямые a и b лежат в некоторой плоскости β.

Точка M принадлежит β, но M ∉ b, поскольку c не пересекает b. Прямая c не лежит в β: иначе она проходила бы через M и пересекала b в точке пересечения c с прямой b, что противоречит условию.

Предположим, что b и c лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит b и точку M, не лежащую на b, а значит, совпадает с β. Тогда c лежит в β — противоречие. Следовательно, b и c некомпланарны, то есть скрещиваются.