13. Решите уравнение $$ 4x^2 + 12x + 9 = (x-4)^2 $$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем квадрат двучлена в правой части уравнения: $$ (x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 $$.
2. Шаг 2: Переписываем уравнение: $$ 4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16 $$.
3. Шаг 3: Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $$ ax^2 + bx + c = 0 $$:
• $$ 4x^2 - x^2 + 12x + 8x + 9 - 16 = 0 $$
• $$ 3x^2 + 20x - 7 = 0 $$
4. Шаг 4: Находим дискриминант по формуле $$ D = b^2 - 4ac $$, где $$ a=3 $$, $$ b=20 $$, $$ c=-7 $$.
• $$ D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400 + 84 = 484 $$.
5. Шаг 5: Находим корни уравнения по формуле $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$.
• $$ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 $$.
• $$ x_1 = \frac{-20 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$.
• $$ x_2 = \frac{-20 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-42}{6} = -7 $$.

Ответ: Уравнение имеет два корня: $$ x_1 = \frac{1}{3} $$ и $$ x_2 = -7 $$.