13. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 10, а боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем периметр основания. Основание — правильный треугольник со стороной 10.
   \( P_{осн} = 3 ∙ 10 = 30 \).
2. Шаг 2: Найдем апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник. Проведем высоту из вершины пирамиды к основанию грани. Эта высота является апофемой. Основание грани равно 10. Проведем апофему в равнобедренном треугольнике, она разделит основание пополам (5 см). Получился прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковое ребро (13 см), один катет — половина основания грани (5 см), а второй катет — апофема (h).
   По теореме Пифагора: \( h^2 + 5^2 = 13^2 \)
   \( h^2 + 25 = 169 \)
   \( h^2 = 169 - 25 \)
   \( h^2 = 144 \)
   \( h = 12 \) см.
3. Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности.
   \( S_{бок} = rac{1}{2} ∙ P_{осн} ∙ h \)
   \( S_{бок} = rac{1}{2} ∙ 30 ∙ 12 \)
   \( S_{бок} = 15 ∙ 12 = 180 \) см².

Ответ: 180 см²