13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь необходимо выплачивать часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года. Найдите наименьшую возможную ставку r, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Так как кредит погашается за 10 лет равными ежегодными уменьшениями долга, ежегодное уменьшение составляет

\(\dfrac{7}{10}=0.7\) млн рублей.

Перед последним платежом остаётся долг 0,7 млн рублей. В январе он увеличивается в \(1+\dfrac r{100}\) раз, поэтому последний платёж равен

\(0.7\left(1+\dfrac r{100}\right)\) млн рублей.

По условию:

\(0.7\left(1+\dfrac r{100}\right)\ge0.819\).

\(1+\dfrac r{100}\ge1.17\), откуда \(\dfrac r{100}\ge0.17\).

Следовательно, минимальная ставка равна \(r=17\%\).

Ответ: 17%.