13. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3, а гипотенуза равна √58. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.

Задание 13: Объём прямой призмы

Дано:

• Основание призмы — прямоугольный треугольник.
• Один катет основания: \( a = 3 \).
• Гипотенуза основания: \( c = \sqrt{58} \).
• Высота призмы: \( H = 2 \).

Найти: Объём призмы \( V \).

Решение:

1. Чтобы найти объём призмы, нужно знать площадь её основания \( S_{осн} \) и высоту \( H \). Формула объёма:

\[ V = S_{осн} \times H \]

2. Для начала найдём площадь основания. Основание — прямоугольный треугольник. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Нам известен один катет \( a = 3 \) и гипотенуза \( c = \sqrt{58} \). Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 3^2 + b^2 = (\sqrt{58})^2 \]

\[ 9 + b^2 = 58 \]

\[ b^2 = 58 - 9 \]

\[ b^2 = 49 \]

\[ b = \sqrt{49} = 7 \]

3. Теперь вычислим площадь основания \( S_{осн} \):

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 3 \times 7 = \frac{21}{2} = 10.5 \]

4. Наконец, найдём объём призмы, используя найденную площадь основания и данную высоту:

\[ V = S_{осн} \times H = 10.5 \times 2 = 21 \]

Ответ: 21.