13. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sin ∠ABC.

Пусть \(BC=b\), а гипотенуза \(AB=c\). Площадь можно выразить двумя способами: \(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\), поэтому \(35b=c\cdot14\sqrt6\).

Также по теореме Пифагора \(c^2=35^2+b^2\). Из равенства площадей \(c=\frac{5b}{2\sqrt6}\). Подставим: \(\frac{25b^2}{24}=1225+b^2\), откуда \(b^2=1176\) и \(b=14\sqrt6\). Тогда \(c=35\).

Следовательно, \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{35}{35}=1\). Однако это невозможно для невырожденного прямоугольного треугольника: полученные длины не удовлетворяют теореме Пифагора (\(35^2+(14\sqrt6)^2=2401\ne35^2\)). Значит, исходные данные противоречивы; вероятно, в условии опечатка.

Ответ: при указанных данных такого треугольника не существует.