№13. В трапеции MHKP ∠M = 90°, ∠K = 150°, HK = 2 см, диагональ MK перпендикулярна боковой стороне KP. Найдите среднюю линию трапеции.

Основания трапеции — \(HK\) и \(MP\). Обозначим \(MP=x\), а высоту — \(h\). Из \(\angle M=90^\circ\) следует, что боковая сторона \(MH\) перпендикулярна основаниям.

Угол между основанием и боковой стороной \(KP\) равен \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Поэтому горизонтальная разность оснований равна \(x-2=\sqrt{3}h\).

Поскольку диагональ \(MK\) перпендикулярна \(KP\), их направляющие векторы \((2,h)\) и \((x-2,-h)\) имеют нулевое скалярное произведение: \(2(x-2)-h^2=0\).

Подставим \(x-2=\sqrt{3}h\): \(2\sqrt{3}h-h^2=0\). Так как \(h>0\), получаем \(h=2\sqrt{3}\), а значит, \(x-2=6\) и \(x=8\) см.

Средняя линия равна \(\frac{HK+MP}{2}=\frac{2+8}{2}=5\) см.

Ответ: 5 см.