13. Все значения $a$, при которых уравнения $\sin^2x=1$ и $a\cos x=\sin2x$ равносильны, образуют множество: 1) $(−\infty;−2]\cup[2;+\infty)$; 2) $[−2;2]$; 3) $(−2;2)$; 4) $(−\infty;−2)\cup(2;+\infty)$; 5) $(−\infty;+\infty)$.

Question

13. Все значения $a$, при которых уравнения $\sin^2x=1$ и $a\cos x=\sin2x$ равносильны, образуют множество: 1) $(−\infty;−2]\cup[2;+\infty)$; 2) $[−2;2]$; 3) $(−2;2)$; 4) $(−\infty;−2)\cup(2;+\infty)$; 5) $(−\infty;+\infty)$.

$Фото задания: 13. Все значения $a$, при которых уравнения $\sin^2x=1$ и $a\cos x=\sin2x$ равносильны, образуют множество: 1)…$ Фото задания

Accepted Answer

Первое уравнение равносильно условию $|\cos x|=0$, то есть $\cos x=0$. Второе уравнение преобразуем: $a\cos x=2\sin x\cos x$, поэтому $\cos x(a-2\sin x)=0$.

Чтобы множества решений совпадали, дополнительное условие $a-2\sin x=0$ не должно давать решений при $\cos x\ne0$. Это возможно при $|a|\ge2$: при $|a|>2$ равенство невозможно, а при $a=\pm2$ оно возможно только при $\sin x=\pm1$, где $\cos x=0$. Следовательно, $a\in(-\infty;-2]\cup[2;+\\infty)$.

Ответ: 1) $(−\infty;−2]\cup[2;+\infty)$.