15 Равнобочная трапеция описана около окружности. Большее основание видно из центра окружности под углом 120°. Площадь трапеции равна 50√3. Боковая сторона имеет длину

Решение:

1. Пусть \( R \) — радиус вписанной окружности. В равнобочной трапеции высота равна удвоенному радиусу, \( h = 2R \).
2. Большее основание \( a \) видно из центра под углом \( 120^\circ \). Радиус, проведенный к концам большего основания, образует равнобедренный треугольник с углом \( 120^\circ \) при вершине (центре окружности).
3. Боковая сторона равнобочной трапеции является касательной к окружности.
4. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности, серединой боковой стороны и точкой касания на боковой стороне. Этот треугольник прямоугольный. Угол при центре будет \( \frac{360^\circ - 120^\circ}{2} = 120^\circ \) (углы при основаниях трапеции), значит, угол при центре, соответствующий одной боковой стороне, равен \( \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \).
5. В этом прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу \( 30^\circ \), равен \( R \) (радиус окружности), а гипотенуза — это половина боковой стороны трапеции.
6. Пусть \( c \) — боковая сторона трапеции. Тогда \( \text{cos}(30^\circ) = \frac{R}{c/2} = \frac{2R}{c} \). \( c = \frac{2R}{\text{cos}(30^\circ)} = \frac{2R}{
   sqrt{3}/2} = \frac{4R}{
   sqrt{3}} \).
7. Большее основание \( a \) также связано с радиусом. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и концами большего основания. Угол при центре \( 120^\circ \). Проведем высоту из центра к основанию, она делит угол пополам. \( \text{tg}(60^\circ) = \frac{a/2}{R} \) (или \( \text{tg}(120^\circ/2) = \frac{a/2}{R} \)). \( a/2 = R \text{tg}(60^\circ) = R
   sqrt{3} \). \( a = 2R
   sqrt{3} \).
8. Для равнобочной трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна удвоенной боковой стороне: \( a + b = 2c \).
9. Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2}h = ch \).
10. Подставим значения: \( S = c(2R) \).
11. Нам дана площадь \( S = 50
    sqrt{3} \). \( 50
    sqrt{3} = c(2R) \).
12. Мы знаем, что \( c = \frac{4R}{
    sqrt{3}} \). Подставим это в формулу площади: \( 50
    sqrt{3} = \frac{4R}{
    sqrt{3}}(2R) \) \( 50
    sqrt{3} = \frac{8R^2}{
    sqrt{3}} \).
13. Решим относительно \( R^2 \): \( R^2 = \frac{50
    sqrt{3}
    \cdot
    sqrt{3}}{8} = \frac{50
    \cdot 3}{8} = \frac{150}{8} = \frac{75}{4} \).
14. \( R =
    sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{
    sqrt{75}}{2} = \frac{5
    sqrt{3}}{2} \).
15. Теперь найдем длину боковой стороны \( c \): \( c = \frac{4R}{
    sqrt{3}} = \frac{4}{
    sqrt{3}}
    \cdot \frac{5
    sqrt{3}}{2} = \frac{20
    sqrt{3}}{2
    sqrt{3}} = 10 \).

Ответ: 10