13 Все значения а, при которых уравнения sin²x = 1 и acosx = sin 2x равносильны, образуют множество

Решение:

1. Решим первое уравнение: \( \text{sin}^2x = 1 \). Это означает \( \text{sin}x = 1 \) или \( \text{sin}x = -1 \).
• Если \( \text{sin}x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число. В этом случае \( \text{cos}x = 0 \).
• Если \( \text{sin}x = -1 \), то \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \) (или \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \)), где \( k \) — целое число. В этом случае \( \text{cos}x = 0 \).
2. Таким образом, уравнения \( \text{sin}^2x = 1 \) равносильны \( \text{cos}x = 0 \).
3. Теперь рассмотрим второе уравнение: \( a \text{cos}x = \text{sin}2x \).
4. Используем формулу синуса двойного угла: \( \text{sin}2x = 2 \text{sin}x \text{cos}x \).
5. Подставим в уравнение: \( a \text{cos}x = 2 \text{sin}x \text{cos}x \).
6. Перенесем все в одну сторону: \( a \text{cos}x - 2 \text{sin}x \text{cos}x = 0 \) \( \text{cos}x(a - 2 \text{sin}x) = 0 \).
7. Это уравнение равносильно системе \( \text{cos}x = 0 \) или \( a - 2 \text{sin}x = 0 \).
8. Для равносильности уравнений \( \text{sin}^2x = 1 \) (что эквивалентно \( \text{cos}x = 0 \)) и \( a \text{cos}x = \text{sin}2x \), должно выполняться условие, что решения второго уравнения содержатся в решениях первого, и наоборот.
9. Если \( \text{cos}x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} +
   pi k \). Тогда \( \text{sin}x =
   plm 1 \).
10. Подставим \( \text{cos}x = 0 \) в \( \text{cos}x(a - 2 \text{sin}x) = 0 \). Это дает \( 0(a - 2 \text{sin}x) = 0 \), что верно для любого \( a \).
11. Однако, нам нужно, чтобы решения \( a - 2 \text{sin}x = 0 \) совпадали с решениями \( \text{cos}x = 0 \).
12. Из \( a - 2 \text{sin}x = 0 \) следует \( \text{sin}x = \frac{a}{2} \).
13. Для того, чтобы решения \( \text{sin}x = \frac{a}{2} \) совпадали с решениями \( \text{sin}x =
    plm 1 \), необходимо, чтобы \( \frac{a}{2} = 1 \) или \( \frac{a}{2} = -1 \).
14. Это дает \( a = 2 \) или \( a = -2 \).
15. Если \( a = 2 \), то \( \text{sin}x = 1 \). Тогда \( \text{cos}x = 0 \). Оба уравнения равносильны \( \text{cos}x = 0 \).
16. Если \( a = -2 \), то \( \text{sin}x = -1 \). Тогда \( \text{cos}x = 0 \). Оба уравнения равносильны \( \text{cos}x = 0 \).
17. Таким образом, значения \( a \), при которых уравнения равносильны, это \( a = 2 \) и \( a = -2 \).
18. Множество этих значений: \( \{ -2, 2 \} \).

Ответ: [-2;2]