13) y = 4√x / (10+x^5)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную числителя \(u(x) = 4\sqrt{x} = 4x^{1/2}\).
   \( u'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}} \).
2. Шаг 2: Находим производную знаменателя \(v(x) = 10+x^5\).
   \( v'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4 \).
3. Шаг 3: Подставляем найденные производные в формулу производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
   \(y' = \frac{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)(10+x^5) - (4\sqrt{x})(5x^4)}{(10+x^5)^2}\).
4. Шаг 4: Упрощаем числитель.
   \(y' = \frac{\frac{20}{\sqrt{x}} + \frac{2x^5}{\sqrt{x}} - 20\sqrt{x}x^4}{(10+x^5)^2}\).
5. Шаг 5: Приводим дроби в числителе к общему знаменателю \(\sqrt{x}\).
   \(y' = \frac{\frac{20}{\sqrt{x}} + 2x^{5-1/2} - 20x^{4+1/2}}{(10+x^5)^2}\)
   \(y' = \frac{\frac{20}{\sqrt{x}} + 2x^{9/2} - 20x^{9/2}}{(10+x^5)^2}\)
   \(y' = \frac{\frac{20}{\sqrt{x}} - 18x^{9/2}}{(10+x^5)^2}\).
6. Шаг 6: Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}\) для устранения корня в числителе.
   \(y' = \frac{20 - 18x^{9/2}\sqrt{x}}{(10+x^5)^2\sqrt{x}}\).
   \(y' = \frac{20 - 18x^{9/2+1/2}}{(10+x^5)^2\sqrt{x}}\).
   \(y' = \frac{20 - 18x^5}{(10+x^5)^2\sqrt{x}}\).
7. Шаг 7: Выносим общий множитель 2 из числителя.
   \(y' = \frac{2(10 - 9x^5)}{(10+x^5)^2\sqrt{x}}\).

Ответ: y' = \(\frac{2(10 - 9x^5)}{(10+x^5)^2\sqrt{x}}\).