14) y = 7x / tgx

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную числителя \(u(x) = 7x\).
   \( u'(x) = 7 \).
2. Шаг 2: Находим производную знаменателя \(v(x) = \text{tg} x\). Производная тангенса равна \(\sec^2 x\).
   \( v'(x) = \sec^2 x \).
3. Шаг 3: Подставляем найденные производные в формулу производной частного: \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
   \(y' = \frac{(7)(\text{tg} x) - (7x)(\sec^2 x)}{(\text{tg} x)^2}\).
4. Шаг 4: Упрощаем выражение.
   \(y' = \frac{7\text{ tg } x - 7x\sec^2 x}{\text{tg}^2 x}\).
5. Шаг 5: Можно также выразить через синус и косинус, где \(\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}\) и \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\).
   \(y' = \frac{7\frac{\sin x}{\cos x} - 7x\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}\).
   Умножаем числитель и знаменатель на \(\cos^2 x\):
   \(y' = \frac{7\sin x \cos x - 7x}{\sin^2 x}\).

Ответ: y' = \(\frac{7\text{ tg } x - 7x\sec^2 x}{\text{tg}^2 x}\) или y' = \(\frac{7\sin x \cos x - 7x}{\sin^2 x}\).