1300. Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если А (-1; -3), B (3; 1), C (0; 4), D (3; -2).

Чтобы найти точку пересечения отрезков AB и CD, нам нужно найти уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, а затем решить систему уравнений.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A (-1; -3) и B (3; 1).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек A и B:

Для точки A: \( -3 = k(-1) + b \) (1)

Для точки B: \( 1 = k(3) + b \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( (1 - (-3)) = (3k - (-k)) + (b - b) \)

\( 4 = 4k \)

\( k = 1 \)

Подставим k=1 в уравнение (1):

\( -3 = 1(-1) + b \)

\( -3 = -1 + b \)

\( b = -2 \)

Уравнение прямой AB: \( y = x - 2 \).

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C (0; 4) и D (3; -2).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек C и D:

Для точки C: \( 4 = k(0) + b \) (3)

Для точки D: \( -2 = k(3) + b \) (4)

Из уравнения (3) сразу следует, что \( b = 4 \).

Подставим b=4 в уравнение (4):

\( -2 = 3k + 4 \)

\( 3k = -6 \)

\( k = -2 \)

Уравнение прямой CD: \( y = -2x + 4 \).

Шаг 3: Найдем точку пересечения прямых.

Решим систему уравнений:

\( y = x - 2 \)

\( y = -2x + 4 \)

Приравняем правые части:

\( x - 2 = -2x + 4 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Подставим x=2 в первое уравнение:

\( y = 2 - 2 \)

\( y = 0 \)

Точка пересечения прямых — (2; 0).

Шаг 4: Проверим, лежат ли точки пересечения на отрезках.

Для отрезка AB, x-координата точки пересечения (2) находится между x-координатами A (-1) и B (3). y-координата (0) находится между y-координатами A (-3) и B (1).

Для отрезка CD, x-координата точки пересечения (2) находится между x-координатами C (0) и D (3). y-координата (0) находится между y-координатами C (4) и D (-2).

Следовательно, точка (2; 0) является точкой пересечения отрезков.

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AB и CD равны (2; 0).