131. Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события: а) A «в первый раз выпадает орёл» и B «во второй раз выпадает решка»; б) A «при первом броске выпадает орёл» и B «орёл выпадает хотя бы один раз»?

Обозначим исходы двух бросков: ОО, ОР, РО, РР.

1. а) \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac12\), а \(P(A\cap B)=P(ОР)=\frac14\).

   Так как \(P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac12=\frac14=P(A\cap B)\), события независимы.

2. б) \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac34\), поскольку хотя бы один орёл выпадает в трёх исходах: ОО, ОР, РО.

   Событие \(A\cap B\) происходит в исходах ОО и ОР, поэтому \(P(A\cap B)=\frac24=\frac12\).

   Но \(P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac34=\frac38\ne\frac12\). Следовательно, события зависимы.

Ответ: а) независимы; б) зависимы.