133. Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. События C и D независимы, если событие C состоит в том, что: а) выбранное число делится на 3; б) выбранное число делится на 7?

Проверим независимость событий C и D, где D — событие «выбранное число делится на 3».

1. а) Пусть C — «число чётное». Тогда \(P(C)=\frac{12}{24}=\frac12\), \(P(D)=\frac8{24}=\frac13\). Числа, одновременно чётные и кратные 3: 6, 12, 18, 24, поэтому \(P(C\cap D)=\frac4{24}=\frac16\).

   \(P(C)P(D)=\frac12\cdot\frac13=\frac16=P(C\cap D)\). События независимы.

2. б) Пусть C — «число делится на 7». Тогда \(P(C)=\frac3{24}=\frac18\), так как подходят числа 7, 14, 21. Число, одновременно чётное и кратное 7, только 14, поэтому \(P(C\cap D)=\frac1{24}\).

   \(P(C)P(D)=\frac18\cdot\frac13=\frac1{24}=P(C\cap D)\). События независимы.

Ответ: а) да; б) да.