132. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

В условии также даны равенства AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁.

1. По двум сторонам и углу между ними △ABC = △A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. Поэтому AC = A₁C₁, а соответствующие углы A и A₁ равны.
2. Точки D и D₁ лежат на сторонах AB и A₁B₁, поэтому ∠CAD = ∠C₁A₁D₁. По условию ∠ACD = ∠A₁C₁D₁, и уже установлено, что AC = A₁C₁. Значит, △ACD = △A₁C₁D₁ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда AD = A₁D₁ и CD = C₁D₁.
3. Вычитая равные отрезки из равных сторон, получаем BD = AB − AD = A₁B₁ − A₁D₁ = B₁D₁.
4. Итак, у треугольников BCD и B₁C₁D₁ равны три соответствующие стороны: BC = B₁C₁, CD = C₁D₁, BD = B₁D₁. Следовательно, △BCD = △B₁C₁D₁ по трём сторонам.