14.13. Докажите тождество: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t}=2 g^2 t$; б) $\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3 t(1+ g t)=\sin t+\cos t$; в) $\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{ g t-\sin t\cos t}=2\ctg^2 t$; г) $\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14.13. Докажите тождество: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t}=2 g^2 t$; б) \(\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3…$ Фото задания

14.13. Докажите тождество: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t}=2 g^2 t$; б) $\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3 t(1+ g t)=\sin t+\cos t$; в) $\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{ g t-\sin t\cos t}=2\ctg^2 t$; г) $\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=1$.

Accepted Answer

Обозначим $s=\sin t$, $c=\cos t$; используем тождество $s^2+c^2=1$.

а) Числитель равен $(s+c)^2-1=2sc$, а знаменатель $\frac{c}{s}-sc=\frac{c^3}{s}$. Поэтому дробь равна $\frac{2sc}{c^3/s}=2\frac{s^2}{c^2}=2 g^2 t$.
б) Раскроем скобки и применим определения тангенса и котангенса: $s^3(1+c/s)+c^3(1+s/c)=s^3+s^2c+c^3+c^2s=(s+c)(s^2+c^2)=s+c$.
в) Числитель равен $2sc$, знаменатель $\frac{s}{c}-sc=\frac{s^3}{c}$. Следовательно, дробь равна $\frac{2sc}{s^3/c}=2\frac{c^2}{s^2}=2\ctg^2 t$.
г) $1-4s^2c^2=(s^2+c^2)^2-4s^2c^2=(s-c)^2(s+c)^2$. Значит, левая часть равна $(s-c)^2+2sc=s^2+c^2=1$.

Ответ: