14.16. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: а) $ g t=\frac34$, $0<t<\frac\pi2$; б) $ g t=2{,}4$, $\pi<t<\frac{3\pi}2$; в) $ g t=-\frac34$, $\frac\pi2<t<\pi$; г) $ g t=-\frac13$, $\frac{3\pi}2<t<2\pi$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14.16. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: а) $ g t=\frac34$, \(0$ Фото задания

14.16. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: а) $ g t=\frac34$, $0<t<\frac\pi2$; б) $ g t=2{,}4$, $\pi<t<\frac{3\pi}2$; в) $ g t=-\frac34$, $\frac\pi2<t<\pi$; г) $ g t=-\frac13$, $\frac{3\pi}2<t<2\pi$.

Accepted Answer

Из $ g t=\frac{\sin t}{\cos t}$ и $\sin^2 t+\cos^2 t=1$ находим синус и косинус; их знаки определяем по четверти. Котангенс — величина, обратная тангенсу.

а) В первой четверти, отношение катетов 3:4, гипотенуза 5: $\sin t=3/5$, $\cos t=4/5$, $\ctg t=4/3$.
б) $2{,}4=12/5$; в третьей четверти оба значения отрицательны. По треугольнику со сторонами 5, 12, 13: $\sin t=-12/13$, $\cos t=-5/13$, $\ctg t=5/12$.
в) Во второй четверти синус положителен, косинус отрицателен: $\sin t=3/5$, $\cos t=-4/5$, $\ctg t=-4/3$.
г) В четвёртой четверти синус отрицателен, косинус положителен. Для отношения 1:3 гипотенуза равна $\sqrt{10}$: $\sin t=-1/\sqrt{10}$, $\cos t=3/\sqrt{10}$, $\ctg t=-3$.

Ответ: а) $\sin t=3/5,\ \cos t=4/5,\ \ctg t=4/3$; б) $\sin t=-12/13,\ \cos t=-5/13,\ \ctg t=5/12$; в) $\sin t=3/5,\ \cos t=-4/5,\ \ctg t=-4/3$; г) $\sin t=-1/\sqrt{10},\ \cos t=3/\sqrt{10},\ \ctg t=-3$.