14.20. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка шести ученикам таким образом, что каждый ученик получил: а) не более одного подарка; б) не более четырех подарков?

a) Каждый ученик получил не более одного подарка.

Это означает, что каждый из 4 подарков должен быть вручен разному ученику. Порядок вручения подарков имеет значение, так как подарки разные.

1. Первый подарок: Мы можем вручить его любому из 6 учеников (6 вариантов).

2. Второй подарок: Его можно вручить любому из оставшихся 5 учеников (5 вариантов).

3. Третий подарок: Его можно вручить любому из оставшихся 4 учеников (4 варианта).

4. Четвертый подарок: Его можно вручить любому из оставшихся 3 учеников (3 варианта).

Общее количество способов:

\[ P_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \]

Ответ а): 360 способов.

б) Каждый ученик получил не более четырех подарков.

Это условие накладывает очень слабое ограничение, так как у нас всего 4 подарка. Каждый ученик может получить от 0 до 4 подарков, но так как подарков всего 4, то максимальное количество, которое может получить один ученик, — это 4.

Рассмотрим каждый подарок отдельно:

1. Первый подарок: Может быть вручен любому из 6 учеников.

2. Второй подарок: Может быть вручен любому из 6 учеников.

3. Третий подарок: Может быть вручен любому из 6 учеников.

4. Четвертый подарок: Может быть вручен любому из 6 учеников.

Общее количество способов:

\[ 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296 \]

Ответ б): 1296 способов.