14.29. Сколько различных восьмизначных чисел можно получить, используя в их написании цифру 1 два раза, а цифры 2 и 3 - по три раза?

Решение:

Нам нужно составить восьмизначное число. В нашем распоряжении:

• Цифра 1 - 2 раза
• Цифра 2 - 3 раза
• Цифра 3 - 3 раза

Общее количество цифр: 2 + 3 + 3 = 8. Это соответствует длине числа.

Количество таких чисел определяется по формуле перестановок с повторениями:

\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ... \times n_k!} \]

Где:

• 
  n - общее количество элементов (цифр).
  
• 
  n_1, n_2, ..., n_k - количество повторений каждого уникального элемента.
  

В нашем случае:

• 
  n = 8
  
• 
  n_1 = 2 (для цифры 1)
  
• 
  n_2 = 3 (для цифры 2)
  
• 
  n_3 = 3 (для цифры 3)
  

Подставляем в формулу:

\[ \frac{8!}{2! \times 3! \times 3!} = \frac{40320}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{40320}{2 \times 6 \times 6} = \frac{40320}{72} = 560 \]

Ответ: 560