14.31. В кассе кинотеатра осталось 2 билета в партер, 3 билета в бельэтаж и 1 билет на балкон. Сколькими способами кассир может выдать по одному билету шести различным лицам?

Решение:

У нас есть:

• 2 билета в партер
• 3 билета в бельэтаж
• 1 билет на балкон

Всего билетов: 2 + 3 + 1 = 6.

Шесть различных лиц получают по одному билету. Это значит, что нам нужно распределить эти 6 билетов между 6 лицами.

Задача сводится к тому, сколько существует способов выбрать, кому какой билет выдать.

Если бы все билеты были уникальны, то было бы 6! перестановок.

Но у нас есть одинаковые билеты:

• 2 одинаковых билета в партер
• 3 одинаковых билета в бельэтаж
• 1 уникальный билет на балкон

Количество способов выдать билеты шести разным лицам будет равно количеству перестановок с повторениями:

\[ \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!} \]

Где:

• 6! - общее количество способов, если бы все билеты были разными.
• 2! - количество перестановок для одинаковых билетов в партер.
• 3! - количество перестановок для одинаковых билетов в бельэтаж.
• 1! - количество перестановок для билета на балкон (равно 1).

Рассчитаем:

\[ \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!} = \frac{720}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times 1} = \frac{720}{2 \times 6 \times 1} = \frac{720}{12} = 60 \]

Ответ: 60