14.61. Определите объем правильной п-угольной пирамиды, боковое ребро которой имеет длину в и наклонено к плоскости ее основания под углом В (n = 8, b = 3,5 м, в = 78°39′).

Краткое пояснение:

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Нам нужно найти высоту пирамиды и площадь ее правильного $$ n $$-угольного основания.

Пошаговое решение:

1. Находим высоту пирамиды (h): Боковое ребро $$ b $$, высота пирамиды $$ h $$ и радиус описанной окружности около основания $$ R $$ образуют прямоугольный треугольник. По условию, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$ oldsymboleta $$. Следовательно, $$ h = b oldsymbol u oldsymbol u $$.
2. Находим радиус описанной окружности около основания (R): $$ R = b oldsymbol u oldsymbol u $$.
3. Находим сторону правильного $$ n $$-угольника (a): Для правильного $$ n $$-угольника $$ a = 2R oldsymbol u oldsymbol u $$.
4. Находим площадь правильного $$ n $$-угольника (S_осн): $$ S_{осн} = rac{1}{2} n a R oldsymbol u oldsymbol u $$, или $$ S_{осн} = rac{na^2}{4 oldsymbol ext{tg}(rac{180^ ext{o}}{n})} $$.
5. Вычисляем объем пирамиды (V): $$ V = rac{1}{3} S_{осн} \cdot h $$.

Ответ: $$ V = rac{1}{3} oldsymbol u rac{n(b oldsymbol u oldsymbol u)^2}{4 oldsymbol ext{tg}(rac{180^ ext{o}}{n})} oldsymbol u (b oldsymbol u oldsymbol u) = rac{nb^3 oldsymbol u^2 oldsymbol u oldsymbol u}{12 oldsymbol ext{tg}(rac{180^ ext{o}}{n})} $$.