14. а) Решите уравнение \(\operatorname{tg}^2 x+(1+\sqrt3)\operatorname{tg}x+\sqrt3=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{5\pi}{2};4\pi]\).

а) Обозначим \(u=\operatorname{tg}x\). Тогда:

\[u^2+(1+\sqrt3)u+\sqrt3=0.\]

Разложим на множители:

\[(u+1)(u+\sqrt3)=0.\]

Отсюда:

\[\operatorname{tg}x=-1\quad\text{или}\quad\operatorname{tg}x=-\sqrt3.\]

Общие решения:

\[x=-\frac\pi4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\]

\[x=-\frac\pi3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.\]

б) На отрезке \([\frac{5\pi}{2};4\pi]\) находятся корни:

\[\frac{8\pi}{3},\quad \frac{11\pi}{4},\quad \frac{11\pi}{3},\quad \frac{15\pi}{4}.\]

Ответ: а) \(x=-\frac\pi4+\pi n\) или \(x=-\frac\pi3+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); б) \(\frac{8\pi}{3},\frac{11\pi}{4},\frac{11\pi}{3},\frac{15\pi}{4}\).