14. Дима решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий больше, чем в предыдущее утро. За первые 12 дней он сделал всего 384 отжимания. Сколько отжиманий сделал Дима в седьмой день?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Первый член прогрессии (количество отжиманий в первый день): \( a_1 = 10 \)
• Общая сумма отжиманий за 12 дней: \( S_{12} = 384 \)
• Количество дней: \( n = 12 \)

Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 384 = \frac{2 \cdot 10 + (12-1)d}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 768 = 20 + 11d \]

Вычтем 20 из обеих частей:

\[ 768 - 20 = 11d \]

\( 748 = 11d \)

Найдём разность прогрессии \( d \):

\[ d = \frac{748}{11} = 68 \]

Теперь найдём количество отжиманий в седьмой день ( \( a_7 \) ). Формула n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Подставим значения для седьмого дня:

\[ a_7 = 10 + (7-1) × 68 \]

\( a_7 = 10 + 6 × 68 \)

\[ a_7 = 10 + 408 \]

\( a_7 = 418 \)

Ответ: Дима сделал 418 отжиманий в седьмой день.