14. К окружности с центром в точке М проведены касательная ТВ и секущая ТМ. Найдите радиус окружности, если ТВ = 30 см, ТМ = 34 см.

Привет! Давай решим эту задачку на касательную и секущую.

Что мы знаем:

• ТВ — касательная к окружности.
• ТМ — секущая, проходящая через центр окружности.
• ТВ = 30 см, ТМ = 34 см.
• М — центр окружности.

Решение:

Здесь используется теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Ее суть в том, что квадрат длины касательной равен произведению длин секущей и ее внешней части. Однако, в этой задаче есть нюанс: секущая ТМ проходит через центр окружности, поэтому ТМ является диаметром. Т.е. ТМ = 34 см - это диаметр.

Когда касательная и секущая проведены из одной точки:

$$TB^2 = TM \times TК$$

Где К — точка пересечения секущей с окружностью (ближе к Т).

В нашем случае, секущая ТМ проходит через центр М. Поэтому мы можем воспользоваться прямоугольным треугольником, где:

• ТВ — катет (касательная).
• МВ — катет (радиус).
• ТМ — гипотенуза (секущая, проходящая через центр, но в данном контексте мы можем рассмотреть треугольник ТМВ, если угол ТМВ будет 90 градусов, но это не так).

Правильное применение теоремы о касательной и секущей:

$$TB^2 = TC \times TD$$

Где C и D — точки пересечения секущей с окружностью.

Но тут нам дана секущая ТМ, где М - центр. Это значит, что ТМ - это прямая, проходящая через центр. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник TMB.

Из условия задачи, ТВ - касательная, значит, угол ТВМ = 90°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник TMB, где:

• ТВ = 30 (катет)
• МВ = r (радиус, другой катет)
• ТМ = 34 (гипотенуза)

По теореме Пифагора:

$$TB^2 + MB^2 = TM^2$$

$$30^2 + r^2 = 34^2$$

$$900 + r^2 = 1156$$

$$r^2 = 1156 - 900$$

$$r^2 = 256$$

$$r = \sqrt{256}$$

$$r = 16$$

Ответ: 16 см