14. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где первый член \( a_1 = 7 \) метров, а разность \( d = 10 \) метров.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Сумма первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \) или \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \)

В данном случае нам нужно найти сумму первых 6 секунд, то есть \( n=6 \).

1. Найдем расстояние, пройденное камнем за каждую секунду:
   • 1-я секунда: \( a_1 = 7 \) м
   • 2-я секунда: \( a_2 = 7 + 10 = 17 \) м
   • 3-я секунда: \( a_3 = 17 + 10 = 27 \) м
   • 4-я секунда: \( a_4 = 27 + 10 = 37 \) м
   • 5-я секунда: \( a_5 = 37 + 10 = 47 \) м
   • 6-я секунда: \( a_6 = 47 + 10 = 57 \) м
2. Найдем общую сумму пройденного расстояния за первые 6 секунд:
   • Используем формулу \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \): \[ S_6 = \frac{7 + 57}{2} \cdot 6 = \frac{64}{2} \cdot 6 = 32 \cdot 6 = 192 \] м
   • Или используем формулу \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \): \[ S_6 = \frac{2 \cdot 7 + (6-1) \cdot 10}{2} \cdot 6 = \frac{14 + 5 \cdot 10}{2} \cdot 6 = \frac{14 + 50}{2} \cdot 6 = \frac{64}{2} \cdot 6 = 32 \cdot 6 = 192 \] м

Ответ: 192 метра.