14 Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Дано:

• Начальная высота первого прыжка: \( h_1 = 4.5 \) м
• Высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущей.
• Высота, которую не должен достигнуть мячик: 20 см = 0.2 м

Найти: Номер прыжка, при котором высота станет меньше 0.2 м.

Решение:

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( h_1 = 4.5 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{3} \).

Формула высоты n-го прыжка: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \)

Подставим известные значения:

• \( h_n = 4.5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)

Нам нужно найти такое \( n \), при котором \( h_n < 0.2 \).

• \( 4.5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.2 \)

Разделим обе части на 4.5:

• \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0.2}{4.5} \)
• \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{2}{45} \)

Теперь проверим значения для разных \( n \):

• n = 1: \( h_1 = 4.5 \) м (больше 0.2 м)
• n = 2: \( h_2 = 4.5 \cdot \frac{1}{3} = 1.5 \) м (больше 0.2 м)
• n = 3: \( h_3 = 1.5 \cdot \frac{1}{3} = 0.5 \) м (больше 0.2 м)
• n = 4: \( h_4 = 0.5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{0.5}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \) м (меньше 0.2 м)

Таким образом, при 4-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 20 см.

Ответ: 4