14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Задание 14: Расчёт высоты прыжков мячика

Начальная высота первого прыжка: \( h_1 = 4.5 \) м.

Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше предыдущего. Это означает, что высота прыжков образует геометрическую прогрессию с первым членом \( h_1 = 4.5 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{3} \).

Нам нужно найти, при каком по счёту прыжке \( h_n \) станет меньше 20 см.

Сначала переведём все значения в одну единицу измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры:

\( h_1 = 4.5 \text{ м} = 4.5 \times 100 \text{ см} = 450 \text{ см} \).

\( 20 \text{ см} \) — это высота, которую мячик не должен достичь.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Подставим известные значения:

\[ h_n = 450 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \]

Мы ищем такое \( n \), при котором \( h_n < 20 \).

\[ 450 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < 20 \]

Разделим обе части на 450:

\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{20}{450} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{20}{450} = \frac{2}{45} \]

Итак, \( \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} < \frac{2}{45} \).

Теперь будем последовательно вычислять высоты прыжков:

• 1-й прыжок: \( h_1 = 450 \text{ см} \) (больше 20 см).
• 2-й прыжок: \( h_2 = h_1 \times \frac{1}{3} = 450 \times \frac{1}{3} = 150 \text{ см} \) (больше 20 см).
• 3-й прыжок: \( h_3 = h_2 \times \frac{1}{3} = 150 \times \frac{1}{3} = 50 \text{ см} \) (больше 20 см).
• 4-й прыжок: \( h_4 = h_3 \times \frac{1}{3} = 50 \times \frac{1}{3} = \frac{50}{3} \text{ см} \approx 16.67 \text{ см} \) (меньше 20 см).

Значит, начиная с 4-го прыжка, высота становится меньше 20 см.

Ответ: Мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см на 4-м прыжке.