14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 10 см? Ответ:

Краткое пояснение:

Данная задача описывает геометрическую прогрессию, где каждый последующий член (высота прыжка) меньше предыдущего в постоянное число раз. Необходимо найти номер члена прогрессии, который впервые станет меньше заданного значения.

Пошаговое решение:

1. Первый прыжок (h₁): 4,8 м.
2. Каждый следующий прыжок в 2 раза меньше предыдущего, значит, знаменатель геометрической прогрессии q = 0,5.
3. Высота прыжков образует последовательность: \( h_n = h_1 × q^{n-1} \).
4. Нам нужно найти такой номер прыжка n, при котором высота \( h_n \) станет меньше 10 см. Сначала переведем все величины в одну систему единиц, например, в сантиметры: \( h_1 = 4,8 × 100 = 480 \) см.
5. Условие: \( h_n < 10 \) см.
6. Подставим значения в формулу: \( 480 × (0,5)^{n-1} < 10 \).
7. Разделим обе части на 480: \( (0,5)^{n-1} < \frac{10}{480} \).
8. Упростим дробь: \( (0,5)^{n-1} < \frac{1}{48} \).
9. Воспользуемся логарифмами для решения. Примем десятичный логарифм (lg) или натуральный (ln). Возьмем lg: \( ext{lg}((0,5)^{n-1}) < ext{lg}(\frac{1}{48}) \).
10. По свойству логарифма: \( (n-1) ext{lg}(0,5) < ext{lg}(\frac{1}{48}) \).
11. \( ext{lg}(0,5) = ext{lg}(\frac{1}{2}) = - ext{lg}(2) ≈ -0,301 \).
12. \( ext{lg}(\frac{1}{48}) = - ext{lg}(48) = -( ext{lg}(16 × 3)) = -( ext{lg}(2^4) + ext{lg}(3)) = -(4 ext{lg}(2) + ext{lg}(3)) ≈ -(4 × 0,301 + 0,477) = -(1,204 + 0,477) = -1,681 \).
13. Неравенство примет вид: \( (n-1) × (-0,301) < -1,681 \).
14. При делении на отрицательное число (-0,301), знак неравенства меняется: \( n-1 > \frac{-1,681}{-0,301} \).
15. \( n-1 > 5,58 \).
16. \( n > 6,58 \).
17. Так как номер прыжка может быть только целым числом, наименьшее целое n, удовлетворяющее этому условию, равно 7.
18. Проверим:
19. h₁ = 480 см
20. h₂ = 480 * 0,5 = 240 см
21. h₃ = 240 * 0,5 = 120 см
22. h₄ = 120 * 0,5 = 60 см
23. h₅ = 60 * 0,5 = 30 см
24. h₆ = 30 * 0,5 = 15 см
25. h₇ = 15 * 0,5 = 7,5 см
26. На 7-м прыжке высота становится 7,5 см, что меньше 10 см.

Ответ: 7