14. На сторонах квадрата взяли по точке так, что четыре отмеченных отрезка равны. Докажите, что эти точки образуют второй квадрат.

Пусть сторона исходного квадрата равна a, а длина каждого отмеченного отрезка — x. Обозначим точки на сторонах по порядку через P, Q, R, S.

1. Рассмотрим треугольник, образованный стороной исходного квадрата и отрезком PQ. Его катеты равны x и a − x. Следовательно, PQ² = x² + (a − x)².
2. Для каждой следующей стороны получаются такие же катеты, только в обратном порядке. Поэтому PQ = QR = RS = SP.
3. Соседние отрезки PQ и QR перпендикулярны: их направления соответствуют взаимно перпендикулярным сторонам исходного квадрата, а при повороте на 90° их катеты меняются местами.
4. Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом.

Ответ: отмеченные точки образуют квадрат.