14. Преобразуйте выражения в многочлен: a) (a − b)(a + b)(a² + b²) (a² + b²) =

Решение:

Используем последовательно формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).

Сначала умножим первые два множителя:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).

Теперь выражение имеет вид:

\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) \).

Умножим результат на \( (a^2 + b^2) \):

\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4 \).

Теперь выражение имеет вид:

\( (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) \).

Этот шаг выглядит ошибочным, так как остался множитель \( (a^2 + b^2) \). По условию, у нас есть два множителя \( (a^2 + b^2) \). Правильно будет:

\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) = (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) \)

Дальнейшее преобразование: \( (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) = a^6 + a^4b^2 - a^2b^4 - b^6 \).

Однако, если в условии имелось в виду: (a − b)(a + b)(a² + b²) * (a⁴ + b⁴), то решение будет:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)

\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4 \)

\( (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8 \)

Исходя из предоставленного изображения, где после (a² + b²) еще раз повторяется (a² + b²), и ниже есть строка =(a²-b²)(a²+b²)(a²+b²)(a⁸+b⁸)=, похоже, что в строке самого задания есть опечатка. Примем, что последний множитель должен быть (a⁸+b⁸).

Если брать условие точно как написано, включая повторяющийся (a² + b²):

\( (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2+b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^2+b^2) = (a^4-b^4)(a^2+b^2) = a^6 + a^4b^2 - a^2b^4 - b^6 \)

Если же брать следующую строку как коррекцию:

\( (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4) = (a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4) = (a^4-b^4)(a^4+b^4) = a^8 - b^8 \)

Ориентируясь на явное указание в виде строки под заданием, решим с учетом (a⁸+b⁸):

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \)

\( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4 \)

\( (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = a^8 - b^8 \)

Ответ: a⁸ - b⁸