14. Преобразуйте выражения в многочлен: a) (a - b)(a+b)(a² + b²) (a² + b²) (a + b) =

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) несколько раз.

Заметим, что \( (a^2+b^2)(a^2+b^2) = (a^2+b^2)^2 \) и \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

Исходное выражение:

\[ (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2+b^2)(a+b) \]

Сгруппируем множители:

\[ ((a-b)(a+b)) (a^2+b^2)^2 (a+b) \]

\[ (a^2 - b^2) (a^2+b^2)^2 (a+b) \]

Применим формулу разности квадратов еще раз:

\[ ((a^2 - b^2)(a^2+b^2)) (a^2+b^2) (a+b) \]

\[ (a^4 - b^4) (a^2+b^2) (a+b) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ (a^4 - b^4)(a^2+b^2) = a^4 · a^2 + a^4 · b^2 - b^4 · a^2 - b^4 · b^2 = a^6 + a^4 b^2 - a^2 b^4 - b^6 \]

Получаем:

\[ (a^6 + a^4 b^2 - a^2 b^4 - b^6)(a+b) \]

Раскрываем оставшиеся скобки:

\[ a(a^6 + a^4 b^2 - a^2 b^4 - b^6) + b(a^6 + a^4 b^2 - a^2 b^4 - b^6) \]

\[ a^7 + a^5 b^2 - a^3 b^4 - ab^6 + a^6 b + a^4 b^3 - a^2 b^5 - b^7 \]

Ответ: \( a^7 + a^6 b + a^5 b^2 + a^4 b^3 - a^3 b^4 - a^2 b^5 - ab^6 - b^7 \)