14. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем в 2 больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, где:

• Число рядов \( n = 14 \)
• Первый член прогрессии (места в первом ряду) \( a_1 = 16 \)
• Разность прогрессии \( d = 2 \)

Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \]\[ S_{14} = \frac{2 \cdot 16 + (14-1) \cdot 2}{2} \cdot 14 \]\[ S_{14} = \frac{32 + 13 \cdot 2}{2} \cdot 14 \]\[ S_{14} = \frac{32 + 26}{2} \cdot 14 \]\[ S_{14} = \frac{58}{2} \cdot 14 \]\[ S_{14} = 29 \cdot 14 \]\[ S_{14} = 406 \]Alternatively, we can find the number of seats in the last row first: \( a_{14} = a_1 + (n-1)d = 16 + (14-1) \cdot 2 = 16 + 13 \cdot 2 = 16 + 26 = 42 \). Then use the formula: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{16 + 42}{2} \cdot 14 = \frac{58}{2} \cdot 14 = 29 \cdot 14 = 406 \).

Ответ: 406