14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 40 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Пройденное расстояние в каждую следующую секунду уменьшается на 5 м.

1. Запишем известные значения:

• Первая секунда (\( a_1 \)): 40 м
• Разность прогрессии (\( d \)): -5 м

2. Определим, сколько секунд потребуется автомобилю, чтобы остановиться. Автомобиль остановится, когда пройденное расстояние за секунду станет 0 или отрицательным. Будем считать, что остановка произошла, когда пройденное расстояние стало минимальным положительным числом, близким к 0, или когда дальнейшее движение невозможно.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Мы хотим найти \( n \), при котором \( a_n \) станет <= 0. Или, более точно, нам нужно найти сумму до момента, когда скорость станет 0. Пусть \( a_n \) — это скорость в \( n \)-ю секунду. Но здесь \( a_n \) — это пройденное расстояние за \( n \)-ю секунду. Значит, нам нужно найти \( n \), когда \( a_n \) станет меньше или равно 0. Последнее положительное расстояние будет \( a_{n-1} \).

Найдем \( n \), когда \( a_n \) станет 0 или меньше:

\[ 40 + (n-1)(-5) ≤ 0 \]

\[ 40 - 5n + 5 ≤ 0 \]

\[ 45 - 5n ≤ 0 \]

\[ 45 ≤ 5n \]

\[ n ≥ 9 \]

Значит, через 9 секунд пройденное расстояние станет 0 или меньше. Последнее положительное расстояние было пройдено за 8 секунд. Давайте проверим:

• \( a_1 = 40 \)
• \( a_2 = 40 - 5 = 35 \)
• \( a_3 = 35 - 5 = 30 \)
• \( a_4 = 30 - 5 = 25 \)
• \( a_5 = 25 - 5 = 20 \)
• \( a_6 = 20 - 5 = 15 \)
• \( a_7 = 15 - 5 = 10 \)
• \( a_8 = 10 - 5 = 5 \)
• \( a_9 = 5 - 5 = 0 \)

Таким образом, автомобиль проезжал 5 метров на 8-й секунде, и остановился на 9-й секунде (проехав 0 метров).

3. Найдем общую сумму пройденного расстояния до полной остановки. Это сумма первых 9 членов арифметической прогрессии.

Формула суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \)

\[ S_9 = \frac{(40 + 0) · 9}{2} = \frac{40 · 9}{2} = \frac{360}{2} = 180 \text{ м} \]

Ответ: 180.