1437. Докажите, что время, в течение которого движущееся вертикально вверх тело достигает наибольшей высоты h, равно времени, в течение которого тело падает с этой высоты.

Пусть тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\), а ускорение свободного падения равно \(g\).

1. В наивысшей точке скорость тела становится равной нулю: \(v_0-gt_1=0\).
2. Отсюда время подъёма: \(t_1=\frac{v_0}{g}\).
3. Максимальная высота подъёма: \(h=\frac{v_0^2}{2g}\).
4. При падении с этой высоты без начальной скорости \(h=\frac{gt_2^2}{2}\), поэтому \(t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}\).
5. Подставим значение высоты: \(t_2=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot\frac{v_0^2}{2g}}=\frac{v_0}{g}=t_1\).

Следовательно, время подъёма до наибольшей высоты равно времени падения с этой высоты.