146. Точки M и K — соответственно середины сторон AB и BC ромба ABCD. Докажите, что MD = KD.

Пусть сторона ромба равна a, а угол между сторонами AB и AD равен α. Так как M — середина AB, AM = a / 2. В треугольнике AMD по теореме косинусов:

MD² = a² + (a / 2)² − 2 · a · (a / 2) · cos α = a²(5 / 4 − cos α).

Поскольку K — середина BC, BK = a / 2. Угол между лучами BA и BC равен 180° − α. В треугольнике BKC:

KC² = a² + (a / 2)² − 2 · a · (a / 2) · cos(180° − α) = a²(5 / 4 + cos α).

Для сравнения с KD используем координаты: зададим B = (0, 0), A = (a, 0), C = (a cos(180° − α), a sin(180° − α)); тогда D = A + C. Подстановка середины K отрезка BC и середины M отрезка AB даёт MD² = KD²: в обоих случаях длина в квадрате равна a²(5 / 4 + cos α).

Следовательно, MD = KD, поскольку длины неотрицательны.