149. б) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М середины ребер CD и BC соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания АВС.

Пусть сторона основания пирамиды равна $$a$$. Диагональ основания $$BD = 8$$. В квадрате $$a\sqrt{2} = 8$$, следовательно $$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$. Высота пирамиды $$SO = 13$$. Точки K и M - середины ребер CD и BC. Плоскость SMK параллельна плоскости основания, если S лежит на оси, перпендикулярной основанию. В данном случае, плоскость SMK не параллельна основанию. Найдем координаты точек. Пусть O - начало координат (0,0,0). Тогда S = (0,0,13). Основание ABCD лежит в плоскости z=0. Координаты вершин квадрата: A = (-2√2, -2√2, 0), B = (2√2, -2√2, 0), C = (2√2, 2√2, 0), D = (-2√2, 2√2, 0). M - середина BC: M = (2√2, 0, 0). K - середина CD: K = (0, 2√2, 0). Вектор SM = (2√2, 0, -13). Вектор SK = (0, 2√2, -13). Нормальный вектор к плоскости SMK: $$n = SM \times SK = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2\sqrt{2} & 0 & -13 \\ 0 & 2\sqrt{2} & -13 \end{vmatrix} = i(0 - (-26\sqrt{2})) - j(-26\sqrt{2} - 0) + k(8 - 0) = (26\sqrt{2}, 26\sqrt{2}, 8)$$. Нормальный вектор к плоскости основания (z=0) равен $$n_{base} = (0,0,1)$$. Тангенс угла между плоскостями равен отношению синуса угла между нормалями к косинусу угла между нормалями. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. $$\cos(\theta) = \frac{|n \cdot n_{base}|}{|n| |n_{base}|} = \frac{|(26\sqrt{2}, 26\sqrt{2}, 8) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{(26\sqrt{2})^2 + (26\sqrt{2})^2 + 8^2} \cdot 1} = \frac{8}{\sqrt{2 · 26^2 · 2 + 64}} = \frac{8}{\sqrt{2 · 676 · 2 + 64}} = \frac{8}{\sqrt{2704 + 64}} = \frac{8}{\sqrt{2768}}$$. $$\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \frac{64}{2768} = \frac{2704}{2768}$$. $$\sin(\theta) = \sqrt{\frac{2704}{2768}} = \frac{52}{\sqrt{2768}}$$. $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{52/\sqrt{2768}}{8/\sqrt{2768}} = \frac{52}{8} = \frac{13}{2}$$.