15. (1 балл) Материальный пункт движется согласно закону S(t) = t^2 + 5t - 6/t метрах, t — время в секундах. В какой момент времени t скорость пункта будет равна 3 м/с?

Решение:

Скорость пункта — это первая производная от закона движения \( S(t) \) по времени \( t \).

\( S(t) = t^2 + 5t - 6t^{-1} \)

Найдем производную \( v(t) = S'(t) \):

\( v(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + 5t - 6t^{-1}) \)

\( v(t) = 2t + 5 - 6(-1)t^{-2} \)

\( v(t) = 2t + 5 + 6t^{-2} \)

\( v(t) = 2t + 5 + \frac{6}{t^2} \)

Теперь приравняем скорость к 3 м/с:

\( 2t + 5 + \frac{6}{t^2} = 3 \)

\( 2t + 2 + \frac{6}{t^2} = 0 \)

Умножим всё на \( t^2 \) (при условии, что \( t
e 0 \)):

\( 2t^3 + 2t^2 + 6 = 0 \)

Разделим на 2:

\( t^3 + t^2 + 3 = 0 \)

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни (делители свободного члена ±1, ±3).

• При \( t = -1 \): \( (-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -1 + 1 + 3 = 3
  e 0 \).
• При \( t = -3 \): \( (-3)^3 + (-3)^2 + 3 = -27 + 9 + 3 = -15
  e 0 \).

Очевидно, что при \( t > 0 \), \( t^3 + t^2 + 3 > 0 \). Нет положительных корней.

Возможно, в условии опечатка, и в законе движения нет члена \( -6/t \), или скорость равна другому значению. При текущих условиях, уравнение \( t^3 + t^2 + 3 = 0 \) не имеет положительных решений для времени.

Ответ: Положительных решений нет.