15.(1 балл) Найдите область определения функции y = log_√3(-x² + 5x + 6);

Решение:

Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

\( -x^2 + 5x + 6 > 0 \)

Умножим неравенство на -1 и сменим знак неравенства:

\( x^2 - 5x - 6 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \):

\( D = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \)

\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \]

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 5x - 6 \) направлены вверх, а нам нужно, чтобы \( x^2 - 5x - 6 < 0 \), то областью определения будет интервал между корнями.

\( x ∈ (-1; 6) \)

Ответ: \( (-1; 6) \)