17.(1 балл) Решите неравенство 25^x ≤ 6·5^x - 5:

Решение:

Перепишем неравенство, чтобы привести его к квадратному виду:

\[ 25^x - 6 \cdot 5^x + 5 \le 0 \]

Заменим \( 25^x \) на \( (5^x)^2 \) и сделаем замену переменной \( y = 5^x \). Так как \( 5^x \) всегда положительно, \( y > 0 \).

\[ y^2 - 6y + 5 \le 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - 6y + 5 = 0 \):

\[ (y-1)(y-5) = 0 \]

Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 5 \).

Неравенство \( y^2 - 6y + 5 \le 0 \) выполняется при \( 1 \le y \le 5 \).

Теперь вернемся к замене \( y = 5^x \):

\[ 1 \le 5^x \le 5 \]

Так как \( 1 = 5^0 \) и \( 5 = 5^1 \), получаем:

\[ 5^0 \le 5^x \le 5^1 \]

Поскольку основание степени \( 5 > 1 \), функция \( 5^x \) возрастающая. Следовательно, мы можем сравнить показатели степеней:

\[ 0 \le x \le 1 \]

Ответ: \( [0; 1] \)