15.2. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 девушек и 5 юношей таким образом, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Решение:

Условие, что никакие два лица одного пола не сидят рядом, означает, что они должны чередоваться: Д-Ю-Д-Ю... или Ю-Д-Ю-Д....

Случай 1: Начинаем с девушки.

1. Расположим 5 девушек за круглым столом. Количество способов сделать это равно \( (5-1)! = 4! \) (так как стол круглый, первое место фиксировано).
2. Теперь у нас есть 5 мест между девушками, куда нужно посадить 5 юношей. Количество способов посадить 5 юношей на 5 мест равно \( 5! \).
3. Общее количество способов для этого случая: \( 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880 \).

Случай 2: Начинаем с юноши.

Аналогично, сначала сажаем 5 юношей \( (5-1)! = 4! \) способами, затем 5 девушек \( 5! \) способами.

Общее количество способов для этого случая: \( 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880 \).

Общее количество способов:

Складываем способы из двух случаев: \( 2880 + 2880 = 5760 \).

Ответ: 5760 способов.