15.7. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Решение:

Нам нужно найти количество четырехзначных чисел \( abcd \), где \( 9 \ge a > b > c > d \ge 0 \).

Поскольку цифры должны быть строго убывающими, они не могут повторяться.

Мы можем выбрать 4 различные цифры из множества \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \). Как только мы выбрали 4 цифры, существует только один способ расположить их в порядке убывания. Однако, первая цифра \( a \) не может быть нулем.

Рассмотрим выбор 4 цифр из 10 (от 0 до 9). Количество способов сделать это равно \( C_{10}^4 \).

\[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Теперь нужно исключить случаи, когда первая цифра (самая большая из выбранных) равна нулю. Но это невозможно, так как самая большая цифра не может быть нулем, если мы выбрали 4 разные цифры.

Нам нужно убедиться, что первая цифра не ноль. Если мы выбрали 4 цифры, и среди них есть ноль, то ноль может быть только самой маленькой цифрой (d). Например, если мы выбрали \( 1, 0, 2, 3 \), то единственное убывающее число будет \( 3210 \). Ноль не может быть первой цифрой.

Поэтому, как только мы выбрали 4 различные цифры, из них можно составить единственное четырехзначное число с убывающими цифрами, если самая большая из выбранных цифр не ноль. А так как мы выбираем 4 цифры, самая большая цифра всегда будет больше нуля.

Таким образом, количество таких чисел равно числу способов выбрать 4 различные цифры из 10, что и дает нам 210.

Ответ: 210 чисел.