15.9. В урне 40 шариков — по 10 красного, синего, желтого и зеленого цветов. Сколькими способами можно выбрать 6 шариков так, чтобы среди них оказались шарики всех четырех цветов?

Решение:

У нас есть 4 цвета шариков, по 10 каждого. Всего 40 шариков.

Нужно выбрать 6 шариков так, чтобы были все 4 цвета. Это значит, что из 4 цветов мы должны выбрать 6 шариков, при этом каждый цвет должен быть представлен хотя бы одним шариком.

Рассмотрим, как могут распределяться 6 шариков по 4 цветам, чтобы каждый цвет был представлен хотя бы раз:

Возможные комбинации количества шариков по цветам (сумма должна быть 6, каждый слагаемый ≥ 1):

1. 2, 1, 1, 2 (два цвета по 2 шарика, два цвета по 1 шарику)
2. 2, 1, 2, 1 (то же самое, но порядок цветов может быть разным)
3. 1, 2, 1, 2
4. 1, 1, 2, 2
5. 3, 1, 1, 1 (один цвет 3 шарика, три цвета по 1 шарику)
6. 1, 3, 1, 1
7. 1, 1, 3, 1
8. 1, 1, 1, 3

Это более сложный подход. Попробуем решить задачу через выбор цветов и затем шариков.

Шаг 1: Убедиться, что все 4 цвета присутствуют.

Сначала выберем по одному шарику каждого цвета. Так как у нас по 10 шариков каждого цвета, это можно сделать \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 \) способами.

Мы выбрали 4 шарика (по одному каждого цвета). Осталось выбрать \( 6 - 4 = 2 \) шарика.

Шаг 2: Выбрать оставшиеся 2 шарика.

Эти 2 шарика могут быть:

• Оба одного цвета.
• Разных цветов.

Теперь учтем, что у нас осталось по \( 10 - 1 = 9 \) шариков каждого цвета.

Случай А: Два оставшихся шарика одного цвета.

Мы можем выбрать один из 4 цветов, и затем выбрать 2 шарика этого цвета из оставшихся 9. Количество способов: \( 4 \times C_9^2 \).

\[ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \]
\[ 4 \times 36 = 144 \]

Случай Б: Два оставшихся шарика разных цветов.

Мы должны выбрать 2 разных цвета из 4 оставшихся цветов. Количество способов выбрать 2 цвета: \( C_4^2 = 6 \).

Для каждой пары выбранных цветов, мы выбираем по одному шарику из оставшихся 9. Количество способов: \( C_4^2 \times 9 \times 9 = 6 \times 81 = 486 \).

Общее количество способов:

Сложим способы из Шага 1 и Шага 2 (Случай А + Случай Б). Однако, первоначальный выбор 'по одному шарику каждого цвета' и последующий выбор 'оставшихся двух' может привести к двойному счету.

Альтернативный подход:

Рассмотрим распределение 6 шариков по 4 цветам так, чтобы каждый цвет был представлен. Мы выбираем 6 шариков из 40. Но мы должны гарантировать, что все 4 цвета есть. Это означает, что мы должны выбрать 6 шариков, которые НЕ являются только 1, 2 или 3 цветами.

Используем принцип включения-исключения.

Всего способов выбрать 6 шариков из 40: \( C_{40}^6 \).

Вычтем случаи, когда отсутствует хотя бы один цвет.

1. Отсутствует 1 цвет:

Выбрать 6 шариков из 3 цветов (например, К, С, Ж). Есть 30 шариков (10К, 10С, 10Ж). Количество способов: \( C_3^{30} \). Всего таких случаев \( C_4^1 \) (выбрать 1 цвет, который отсутствует). \( C_4^1 \times C_{30}^6 \).

\[ C_{30}^6 = \frac{30!}{6!24!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 593775 \]
\[ 4 \times 593775 = 2375100 \]

2. Отсутствует 2 цвета:

Выбрать 6 шариков из 2 цветов (например, К, С). Есть 20 шариков. Количество способов: \( C_2^{20} \). Всего таких случаев \( C_4^2 \) (выбрать 2 цвета, которые отсутствуют). \( C_4^2 \times C_{20}^6 \).

\[ C_{20}^6 = \frac{20!}{6!14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 38760 \]
\[ C_4^2 = 6 \]
\[ 6 \times 38760 = 232560 \]

3. Отсутствует 3 цвета:

Выбрать 6 шариков из 1 цвета (например, только К). Есть 10 шариков. Количество способов: \( C_1^{10} \). Всего таких случаев \( C_4^3 \). \( C_4^3 \times C_{10}^6 \).

\[ C_{10}^6 = C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
\[ C_4^3 = 4 \]
\[ 4 \times 210 = 840 \]

Общее количество способов выбрать 6 шариков из 40:

\[ C_{40}^6 = \frac{40!}{6!34!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37 \times 36 \times 35}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3838380 \]

По принципу включения-исключения:

\( N(\text{хотя бы 1 цвет}) = C_{40}^6 - (\text{случаи без 1 цвета}) + (\text{случаи без 2 цветов}) - (\text{случаи без 3 цветов}) \)

\( N(\text{все 4 цвета}) = C_{40}^6 - C_4^1 C_{30}^6 + C_4^2 C_{20}^6 - C_4^3 C_{10}^6 \)

\[ N = 3838380 - 2375100 + 232560 - 840 \]

\[ N = 1463280 + 232560 - 840 = 1695840 - 840 = 1695000 \]

Проверка другими способами.

Распределение 6 шариков по 4 цветам, где каждый цвет встречается хотя бы раз:

Возможные структуры (количество шариков по цветам):

1. 3, 1, 1, 1
2. 2, 2, 1, 1

Случай 1: 3, 1, 1, 1

- Выбрать цвет, который будет иметь 3 шарика: \( C_4^1 = 4 \) способа.

- Выбрать 3 шарика этого цвета из 10: \( C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \) способов.

- Для оставшихся 3 цветов выбрать по 1 шарику из 10: \( C_{10}^1 \times C_{10}^1 \times C_{10}^1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \) способов.

- Всего для этого случая: \( 4 \times 120 \times 1000 = 480000 \) способов.

Случай 2: 2, 2, 1, 1

- Выбрать 2 цвета, которые будут иметь по 2 шарика: \( C_4^2 = 6 \) способов.

- Для каждого из этих 2 цветов выбрать по 2 шарика из 10: \( C_{10}^2 \times C_{10}^2 = 45 \times 45 = 2025 \) способов.

- Для оставшихся 2 цветов выбрать по 1 шарику из 10: \( C_{10}^1 \times C_{10}^1 = 10 \times 10 = 100 \) способов.

- Всего для этого случая: \( 6 \times 2025 \times 100 = 1215000 \) способов.

Общее количество способов:

\[ 480000 + 1215000 = 1695000 \]

Ответы совпадают.

Ответ: 1695000 способов.