15. (3 балла) Решите уравнение \(\sqrt{x+1}-x+1=0\).

Решение:

Перенесём члены уравнения так, чтобы корень остался в одной части:

\(\sqrt{x+1} = x - 1\)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\((\sqrt{x+1})^2 = (x - 1)^2\)

\(x + 1 = x^2 - 2x + 1\)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\(x^2 - 2x + 1 - x - 1 = 0\)

\(x^2 - 3x = 0\)

Вынесем \(x\) за скобки:

\(x(x - 3) = 0\)

Получаем два возможных корня:

\(x_1 = 0\) или \(x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3\)

Теперь необходимо выполнить проверку, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Исходное уравнение: \(\sqrt{x+1} = x - 1\).

Проверка для \(x = 0\):

\(\sqrt{0+1} = 0 - 1\)

\(\sqrt{1} = -1\)

\(1 = -1\) (Неверно). Значит, \(x = 0\) — посторонний корень.

Проверка для \(x = 3\):

\(\sqrt{3+1} = 3 - 1\)

\(\sqrt{4} = 2\)

\(2 = 2\) (Верно). Значит, \(x = 3\) — верный корень.

Ответ: 3.