17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию \(\varphi(x) = 48x - x^3\) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

1. Находим производную функции:

\(\varphi'(x) = (48x - x^3)' = 48 - 3x^2\)

2. Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует):

\(48 - 3x^2 = 0\)

\(3x^2 = 48\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm 4\)

Критические точки: \(x = -4\) и \(x = 4\).

3. Определяем знаки производной на интервалах:

Разделим числовую ось на интервалы:

• \((-\infty; -4)\): Возьмём \(x = -5\). \(\varphi'(-5) = 48 - 3(-5)^2 = 48 - 3(25) = 48 - 75 = -27 < 0\). Функция убывает.
• \((-4; 4)\): Возьмём \(x = 0\). \(\varphi'(0) = 48 - 3(0)^2 = 48 > 0\). Функция возрастает.
• \((4; \infty)\): Возьмём \(x = 5\). \(\varphi'(5) = 48 - 3(5)^2 = 48 - 3(25) = 48 - 75 = -27 < 0\). Функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

• В точке \(x = -4\) производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
• \(\varphi(-4) = 48(-4) - (-4)^3 = -192 - (-64) = -192 + 64 = -128\). Точка минимума: \((-4; -128)\).
• В точке \(x = 4\) производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
• \(\varphi(4) = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128\). Точка максимума: \((4; 128)\).

Выводы:

• Функция возрастает на интервале \((-4; 4)\).
• Функция убывает на интервалах \((-\infty; -4)\) и \((4; \infty)\).
• Точка минимума: \((-4; -128)\).
• Точка максимума: \((4; 128)\).