18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций \(y = x^2\), \(y = x + 2\) и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Найдём точки пересечения графиков функций \(y = x^2\) и \(y = x + 2\):

Приравниваем уравнения:

\(x^2 = x + 2\)

\(x^2 - x - 2 = 0\)

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\). \(\sqrt{D} = 3\).

\[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

При \(x = 2\), \(y = 2^2 = 4\). Точка пересечения: (2, 4).

При \(x = -1\), \(y = (-1)^2 = 1\). Точка пересечения: (-1, 1).

2. Построим графики:

\(y = x^2\) — парабола с вершиной в (0,0), ветви вверх.

\(y = x + 2\) — прямая, проходящая через точки (-1, 1) и (2, 4).

3. Вычислим площадь фигуры при помощи интеграла:

Площадь \(S\) находится как интеграл разности функций на отрезке между точками пересечения. Верхняя функция — \(y = x + 2\), нижняя — \(y = x^2\).

\[ S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]

Подставим верхний предел:

\[ \left( \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} \right) = \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) = \left( \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{10}{3} \]

Подставим нижний предел:

\[ \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} \right) = \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{3}{6} - \frac{12}{6} + \frac{2}{6} \right) = \frac{3 - 12 + 2}{6} = \frac{-7}{6} \]

Вычислим площадь:

\[ S = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{9}{2}\) квадратных единиц.