16. (3 балла) Решите уравнение \(6\cos^2 x - 5\sin x + 5 = 0\).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), откуда \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим это в уравнение:

\(6(1 - \sin^2 x) - 5\sin x + 5 = 0\)

Раскроем скобки:

\(6 - 6\sin^2 x - 5\sin x + 5 = 0\)

Приведём подобные члены:

\(-6\sin^2 x - 5\sin x + 11 = 0\)

Умножим всё на -1 для удобства:

\(6\sin^2 x + 5\sin x - 11 = 0\)

Введём замену: пусть \(t = \sin x\). Получаем квадратное уравнение относительно \(t\):

\(6t^2 + 5t - 11 = 0\)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289 \]

\(\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\)

Найдем корни \(t\):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6} \]

Теперь вернёмся к замене \(t = \sin x\):

1. \(\sin x = 1\)

Это частный случай. \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. \(\sin x = -\frac{11}{6}\)

Так как \(-1 \le \sin x \le 1\), а \(-\frac{11}{6} \approx -1.83\), это уравнение не имеет решений.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).