15. Докажите, что: а) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4; б) сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел оканчивается на ноль; в) сумма чисел \(\overline{a0b}\), \(\overline{b0c}\) и \(\overline{c0a}\) делится на 101.

а) Пусть четыре последовательных натуральных числа — \(n\), \(n+1\), \(n+2\), \(n+3\). Тогда их сумма равна:

\[n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2.\]

При делении на 4 остаток равен 2, значит, сумма на 4 нацело не делится.

б) Пусть пять последовательных чётных натуральных чисел — \(2n\), \(2n+2\), \(2n+4\), \(2n+6\), \(2n+8\). Их сумма:

\[2n+(2n+2)+(2n+4)+(2n+6)+(2n+8)=10n+20=10(n+2).\]

Сумма кратна 10, поэтому в десятичной записи оканчивается нулём.

в) Запишем числа через цифры: \(\overline{a0b}=100a+b\), \(\overline{b0c}=100b+c\), \(\overline{c0a}=100c+a\). Тогда:

\[(100a+b)+(100b+c)+(100c+a)=101a+101b+101c=101(a+b+c).\]

Полученная сумма кратна 101.