16. Решите задачи: а) Для подарков призёрам и победителям школьного математического турнира приобрели 28 настольных мини-игр и 42 головоломки. Сколько призёров и победителей было в этом турнире, если в подарках все получили одинаковые наборы? б) Спортсменов построили в колонну по 6 человек, а затем перестроили, поставив по 4 человека. Сколько всего спортсменов могло быть, если их больше 90, но меньше 110?

а) Число одинаковых наборов должно быть общим делителем 28 и 42. Наибольший общий делитель этих чисел равен 14: \(28=2\cdot14\), \(42=3\cdot14\). Значит, если требуется определить наибольшее возможное число получателей, оно равно 14; каждый набор содержит 2 мини-игры и 3 головоломки. Без требования о наибольшем числе получателей возможны также 1, 2 или 7 получателей.

б) Общее число спортсменов должно делиться и на 6, и на 4. Наименьшее общее кратное равно \(\operatorname{НОК}(6,4)=12\). Между 90 и 110 находятся кратные 12: \(12\cdot8=96\) и \(12\cdot9=108\).

Ответ: а) наибольшее возможное число — 14; б) 96 или 108 спортсменов.